Persamaan Kuadrat (Part 2 )

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat disusun dengan 2 cara berikut:

a. $(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ (Dengan memfaktorkan)

b. $x^2-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0$ (Rumus Jumlah dan Hasil kali Akar)

Cotoh:

Tentukan Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 5.

Jawab:

Cara 1:

Dengan memfaktorkan: $x_{1}=3$ dan $x_{2}=5$

$(x-x_{1})(x-x_{2})=0$

$\Leftrightarrow (x-3)(x-5)=0$

$\Leftrightarrow x^2-8x+15=0$

Jadi Persamaan Kuadratnya adalah: $x^2-8x+15=0$

Cara 2:

Dengan Rumus Jumlah dan Hasil kali Akar: $x_{1}=3$ dan $x_{2}=5$

$x^2-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}.x_{2}=0$

$x^2-(3+5)x+3.5=0$

$x^2-8x+15=0$

Jadi Persamaan Kuadratnya adalah: $x^2-8x+15=0$

Bentuk Yang Simetris

a. $x_{1}^2+x_{2}^2= (x_{1}+x_{2})^2-2 x_{1}.x_{2}$

b. $x_{1}^2-x_{2}^2= (x_{1}+x_{2})( x_{1}-x_{2})$

c. $(x_{1}-x_{2})^2= (x_{1}+x_{2})^2-4 x_{1}.x_{2}$

d. $x_{1}^3+x_{2}^3= (x_{1}+x_{2})^3-3 x_{1}.x_{2}(x_{1}+x_{2})$

e. $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}\times x_{2}}$

f. $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{1}^2+x_{2}^2}{x_{1}\times x_{2}} =\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{x_{1}\times x_{2}}$

Menyusun PK Baru yang berhubungan dengan PK yang lain

Misalkan $ax^2+bx+c=0$ dengan akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ , maka PK baru dapat disusun dengan ketentuan berikut:

a. Jika akar-akarnya $x_{1}+k$ dan $x_{2}+k$ PK baru $x^2+(b-2k)x+(c-kb+k^2)=0$

b. Jika akar-akarnya $k kali x_{1}$ dan k kali $x_{2}$ PK baru: $ax^2+kbx+k^2c=0$

c. Jika akar-akarnya $\frac{x_1}{k} dan \frac{x_2}{k}$ PK baru: $x^2+\frac{b}{k}x+\frac{c}{k^2}=0$

d. Jika akar-akarnya $\frac{1}{x_{1}}dan\frac{1}{x_{2}}$ maka PK baru $cx^2+bx+a=0$

Contoh:

Misalkan akar-akar Persamaan Kuadrat $x^2+5x+4=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Tentukan Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya

a. $3x_{1}$ dan $3x_{2}$

b. $\frac{1}{x_{1}}$ dan $\frac{1}{x_{2}}$

Jawab

Point a.

Cara 1: Dengan menggunakan Rumus Jumlah dan hasil kali akar

Diketahui PK: $x^2+5x+4=0$ , a=1,b=5, dac c=4 maka $x_{1}+x_{2}=-5$ dan $x_{1}.x_{2}=4$

$x^2-(3x_{1}+3x_{2})x+(3x_{1}.3x_{2})=0$

$x^2-3(x_{1}+x_{2})x+9(x_{1}.x_{2})=0$

$x^2-3(-5)x+9.4=0$

$x^2+15x+36=0$

Jadi PK baru $x^2+15x+36=0$

Cara 2: Dengan Rumus Cepat

PK baru yang akar-akarnya $k kali x_{1}$ dan k kali $x_{2}$ PK baru: $ax^2+kbx+k^2c=0$

Dalam hal ini k=3, maka PK baru: $x^2+3.5x+3^2.4= x^2+15x+36=0$

Jadi Persamaan Kuadratnya adalah: $x^2-15x+36=0$

Point b:

Diketahui PK: $x^2+5x+4=0$ , a=1,b=5, dac c=4 maka $x_{1}+x_{2}=-5$ dan $x_{1}.x_{2}=4$

PK baru yang akar-akarnya $\frac{1}{x_{1}}$ dan $\frac{1}{x_{2}}$ adalah $cx^2+bx+a=4x^2+5x+1=0$

Latihan

1. Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar Persamaan Kuadrat $x^2-8x-9=0$ . Tentukan Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya

a. $2x_{1}$ dan $x_{2}$

b. $\frac{1}{x_{1}}$ dan $\frac{1}{x_{2}}$

2. Soal Ujian Nasional

Persamaan Kuadrat $2x^2+qx+(q-1)=0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Jika $x_{1}^2+ x_{2}^2=4$ , maka nilai q adalah…

A. -6 dan 2

B. -5 dan 3

C. -4 dan 4

D. -3 dan 5

E. -2 dan 6

Selamat Mencoba.

SURYAGEDUR